点$(1, 3)$を通り、直線$5x + 6y + 3 = 0$に垂直な直線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

点$(1, 3)$を通り、直線$5x + 6y + 3 = 0$に垂直な直線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の方程式$5x + 6y + 3 = 0$の傾きを求めます。この式を$y$について解くと、

$6y = -5x - 3$

$y = -\frac{5}{6}x - \frac{1}{2}$

したがって、与えられた直線の傾きは$-\frac{5}{6}$です。

求める直線はこれに垂直なので、傾きは$\frac{6}{5}$となります。（垂直な直線の傾きの積は$-1$になるため、$-\frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = -1$）

次に、点$(1, 3)$を通り傾きが$\frac{6}{5}$の直線の方程式を求めます。点傾き式を用いると、

$y - 3 = \frac{6}{5}(x - 1)$

$y - 3 = \frac{6}{5}x - \frac{6}{5}$

$y = \frac{6}{5}x - \frac{6}{5} + 3$

$y = \frac{6}{5}x + \frac{9}{5}$

この式を整理して、選択肢にある形に合わせます。

$5y = 6x + 9$

$6x - 5y + 9 = 0$

選択肢の中でこの式と一致するのは④です。

3. 最終的な答え

④ $6x - 5y + 9 = 0$