点$(2, 5)$と直線$y = -\frac{1}{3}x - 1$の距離を求めよ。

1. 問題の内容

点$(2, 5)$と直線$y = -\frac{1}{3}x - 1$の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

まず、与えられた直線の式を$ax + by + c = 0$の形に変形します。

$y = -\frac{1}{3}x - 1$の両辺に3を掛けると、

$3y = -x - 3$

よって、$x + 3y + 3 = 0$となります。

したがって、$a = 1$, $b = 3$, $c = 3$です。

また、点$(x_0, y_0) = (2, 5)$です。

これらの値を距離の公式に代入すると、

$d = \frac{|1 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 3|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|2 + 15 + 3|}{\sqrt{1 + 9}}$

$d = \frac{|20|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{20}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{20\sqrt{10}}{10}$

$d = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{10}$