三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle IBA = 32^\circ$のとき、$\angle P$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle IBA = 32^\circ$のとき、$\angle P$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、内心の性質から、$BI$は$\angle ABC$の二等分線であるので、$\angle ABC = 2 \times \angle IBA = 2 \times 32^\circ = 64^\circ$となる。

次に、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ - 64^\circ = 46^\circ$となる。

点Iは内心なので、$\angle ICB$は$\angle ACB$の半分である。つまり、$\angle ICB = \frac{1}{2} \times \angle ACB = \frac{1}{2} \times 46^\circ = 23^\circ$となる。

$\angle P$は$\angle BIC$の外角なので、$\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB)$と表せる。

$\angle BIC = 180^\circ - (32^\circ + 23^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$。

四角形AICPにおいて、$\angle AIC + \angle APC + \angle PCA + \angle CAI = 360^\circ$である。

内心は内接円の中心なので、$\angle AIP$は90度、$\angle CIP$も90度になる。

$\angle APC = \angle AIC = 180 - 35 - 32$

点Pは内接円とBCの接点なので、IPはBCに垂直である。よって$\angle IPC = 90^\circ$。

また、四角形 $APIC$ において、$AI$ と $CI$ はそれぞれ $\angle BAC$ と $\angle ACB$ の二等分線なので、$\angle IAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 70^\circ = 35^\circ$, $\angle ICA = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times 46^\circ = 23^\circ$ である。

四角形の内角の和は $360^\circ$ なので、$\angle AIC = 360^\circ - \angle IAC - \angle ICA - \angle APC = 360^\circ - 35^\circ - 23^\circ - 90^\circ = 125^\circ$。

よって、$\angle APC = 122^\circ$

3. 最終的な答え

122