(4) 整式 $P(x) = -x^3 + x^2 + 3x + 5$ を $x+2$ で割った余りを求める。 (5) 傾きが2で、点$(2, -1)$を通る直線の式、点$(3, 2)$ を通る直線で、(i)傾きが直線lと平行な直線、(ii)直線lと垂直な直線の式を求める。 (6) 以下の4つの連立不等式の中から、与えられた図の斜線部分を表しているものを選ぶ。ただし、境界線を含むものとする。 ① $\begin{cases} y \geqq x^2 - 1 \\ y \geqq x + 2 \end{cases}$ ② $\begin{cases} y \leqq x^2 - 1 \\ y \geqq x + 2 \end{cases}$ ③ $\begin{cases} y \geqq x^2 - 1 \\ y \leqq x + 2 \end{cases}$ ④ $\begin{cases} y \leqq x^2 - 1 \\ y \leqq x + 2 \end{cases}$

1. 問題の内容

(4) 整式 $P(x) = -x^3 + x^2 + 3x + 5$ を $x+2$ で割った余りを求める。

(5) 傾きが2で、点$(2, -1)$を通る直線の式、点$(3, 2)$ を通る直線で、(i)傾きが直線lと平行な直線、(ii)直線lと垂直な直線の式を求める。

(6) 以下の4つの連立不等式の中から、与えられた図の斜線部分を表しているものを選ぶ。ただし、境界線を含むものとする。

① $\begin{cases} y \geqq x^2 - 1 \\ y \geqq x + 2 \end{cases}$

② $\begin{cases} y \leqq x^2 - 1 \\ y \geqq x + 2 \end{cases}$

③ $\begin{cases} y \geqq x^2 - 1 \\ y \leqq x + 2 \end{cases}$

④ $\begin{cases} y \leqq x^2 - 1 \\ y \leqq x + 2 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(4) 余りの定理より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $P(-2)$ である。

$P(-2) = -(-2)^3 + (-2)^2 + 3(-2) + 5 = -(-8) + 4 - 6 + 5 = 8 + 4 - 6 + 5 = 11$

(5) 傾きが2で、点$(2, -1)$を通る直線の式は、$y - (-1) = 2(x - 2)$ より、$y = 2x - 4 - 1 = 2x - 5$

したがって、直線lの式は $y = 2x - 5$

点$(3, 2)$ を通り、直線lに平行な直線の式は、傾きが2なので、$y - 2 = 2(x - 3)$ より、$y = 2x - 6 + 2 = 2x - 4$

点$(3, 2)$ を通り、直線lに垂直な直線の式は、傾きが $-\frac{1}{2}$ なので、$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 3)$ より、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

(6) 与えられた図の斜線部分は、$y = x^2 - 1$ の上側、$y = x + 2$ の下側の領域である。したがって、不等式は

$\begin{cases} y \geqq x^2 - 1 \\ y \leqq x + 2 \end{cases}$

である。

3. 最終的な答え

(4) 11

(5) $y = 2x - 5$, $y = 2x - 4$, $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

(6) ②