三角形ABCにおいて、$AB:AC = 2:3$, $BC = 2\sqrt{7}$, $\angle BAC = 60^\circ$ のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB:AC = 2:3$, $BC = 2\sqrt{7}$, $\angle BAC = 60^\circ$ のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

$AB = 2x, AC = 3x$とおく。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$(2\sqrt{7})^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3x \cdot \cos{60^\circ}$

$28 = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cdot \frac{1}{2}$

$28 = 13x^2 - 6x^2$

$28 = 7x^2$

$x^2 = 4$

$x = 2$ ($x > 0$より)

よって、$AB = 2x = 4$, $AC = 3x = 6$.

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin{60^\circ}$

$= 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$6\sqrt{3}$