円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求めよ。 (1) BD (2) BE

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求めよ。

(1) BD

(2) BE

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が成り立つ。トレミーの定理とは、円に内接する四角形ABCDにおいて、

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

が成り立つというものである。

今回の問題では、

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = AC \cdot BD$

$2 + 6 = AC \cdot BD$

$8 = AC \cdot BD$

となる。

次に、余弦定理を用いてACとBDを表す。

三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 4 + 9 - 12 \cdot cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 13 - 12 \cdot cos(\angle ABC)$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$が成り立つ。したがって、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$。

三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot cos(\angle ADC)$

$AC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos(180^\circ - \angle ABC)$

$AC^2 = 4 + 1 - 4 \cdot (-cos(\angle ABC))$

$AC^2 = 5 + 4 \cdot cos(\angle ABC)$

$AC^2$について連立方程式を立てると、

$13 - 12 \cdot cos(\angle ABC) = 5 + 4 \cdot cos(\angle ABC)$

$8 = 16 \cdot cos(\angle ABC)$

$cos(\angle ABC) = \frac{1}{2}$

よって、$\angle ABC = 60^\circ$

$AC^2 = 5 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 5 + 2 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

$AC \cdot BD = 8$より、$BD = \frac{8}{AC} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) BEの長さを求める。

三角形ABEと三角形CDEは相似である。同様に、三角形ADEと三角形BCEも相似である。

したがって、$\frac{BE}{DE} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{2}$となる。

$BE = \frac{3}{2}DE$

$BD = BE + DE$であるので、

$\frac{8\sqrt{7}}{7} = \frac{3}{2}DE + DE = \frac{5}{2}DE$

$DE = \frac{2}{5} \cdot \frac{8\sqrt{7}}{7} = \frac{16\sqrt{7}}{35}$

$BE = \frac{3}{2} \cdot \frac{16\sqrt{7}}{35} = \frac{24\sqrt{7}}{35}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) $BE = \frac{24\sqrt{7}}{35}$