極座標で表された円 $r=4\cos\theta$ と直線 $r=\frac{a}{\cos\theta}$ が共有点を持たないような正の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された円 $r=4\cos\theta$ と直線 $r=\frac{a}{\cos\theta}$ が共有点を持たないような正の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極座標の方程式を直交座標の方程式に変換します。

円 $r = 4\cos\theta$ について、$r^2 = 4r\cos\theta$ と変形できます。$r^2 = x^2 + y^2$ および $x = r\cos\theta$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = 4x$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

これは、中心が $(2, 0)$、半径が $2$ の円を表します。

次に、直線 $r = \frac{a}{\cos\theta}$ について、$r\cos\theta = a$ と変形できます。$x = r\cos\theta$ を代入すると、$x = a$ となります。

これは、直線 $x = a$ を表します。

円 $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ と直線 $x = a$ が共有点を持たない条件を求めます。

円の中心 $(2, 0)$ から直線 $x = a$ までの距離は $|2 - a|$ です。円と直線が共有点を持たない条件は、この距離が円の半径 $2$ よりも大きいことです。

$|2 - a| > 2$

$2 - a > 2$ または $2 - a < -2$

$2 - a > 2$ のとき、$a < 0$ となりますが、$a$ は正の定数なので、この条件は不適です。

$2 - a < -2$ のとき、$a > 4$ となります。

3. 最終的な答え

$a > 4$