極座標で表された円 $r = 4\cos\theta$ と直線 $r = \frac{a}{\cos\theta}$ が共有点を持たないような正の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された円 $r = 4\cos\theta$ と直線 $r = \frac{a}{\cos\theta}$ が共有点を持たないような正の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極座標の式を直交座標の式に変換します。

円 $r = 4\cos\theta$ は、両辺に $r$ を掛けると $r^2 = 4r\cos\theta$ となります。直交座標では、$r^2 = x^2 + y^2$、$x = r\cos\theta$ なので、$x^2 + y^2 = 4x$ となります。

これは、$x^2 - 4x + y^2 = 0$ と変形でき、$(x-2)^2 + y^2 = 4$ となります。したがって、中心が $(2,0)$、半径が $2$ の円を表します。

次に、直線 $r = \frac{a}{\cos\theta}$ は、$r\cos\theta = a$ となり、直交座標では $x = a$ となります。これは、$x = a$ の直線を表します。

円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ と直線 $x = a$ が共有点を持たない条件を考えます。

円の中心 $(2,0)$ から直線 $x=a$ までの距離が半径 $2$ より大きいとき、円と直線は交わりません。

点と直線の距離の公式より、点 $(2,0)$ と直線 $x-a=0$ の距離は $\frac{|2-a|}{\sqrt{1^2+0^2}} = |2-a|$ となります。

したがって、$|2-a| > 2$ となる $a$ の範囲を求めれば良いです。

$2-a > 2$ または $2-a < -2$ を解きます。

$2-a > 2$ より、$a < 0$

$2-a < -2$ より、$a > 4$

$a$ は正の定数なので、$a < 0$ は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$a>4$