長さ1の線分が与えられたとき、以下の線分を作図する方法を記述する。 (1) 長さが $\sqrt{5}$ の線分 (2) 長さが2次方程式 $x^2+3x-1=0$ の正の解に等しい線分

1. 問題の内容

長さ1の線分が与えられたとき、以下の線分を作図する方法を記述する。

(1) 長さが $\sqrt{5}$ の線分

(2) 長さが2次方程式 $x^2+3x-1=0$ の正の解に等しい線分

2. 解き方の手順

(1) 長さが $\sqrt{5}$ の線分の作図

長さ1の線分をABとする。

1. 直線l上に点Aをとり、ABを直線l上に置く。

2. 点Bで直線lに垂直な直線を引く。

3. 点Bを中心として、半径AB=1の円を描き、2で引いた直線との交点をCとする。BC=1となる。

4. 線分ACを引くと、三平方の定理より、AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

5. 点CでACに垂直な直線を引く。

6. 点Cを中心として、半径AB=1の円を描き、5で引いた直線との交点をDとする。CD=1となる。

7. 線分ADを引くと、三平方の定理より、AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$

8. 点DでADに垂直な直線を引く。

9. 点Dを中心として、半径AB=1の円を描き、8で引いた直線との交点をEとする。DE=1となる。

1

0. 線分AEを引くと、三平方の定理より、AE=$\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

1

1. 点EでAEに垂直な直線を引く。

1

2. 点Eを中心として、半径AB=1の円を描き、11で引いた直線との交点をFとする。EF=1となる。

1

3. 線分AFを引くと、三平方の定理より、AF=$\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

したがって、線分AFが求める長さ$\sqrt{5}$の線分である。

(2) 長さが2次方程式 $x^2+3x-1=0$ の正の解に等しい線分の作図

$x^2+3x-1=0$を変形すると、

$x(x+3)=1$

方べきの定理を利用する。

1. 適当な点Oを中心として、半径3の円を描く。

2. 円O上に点Aをとる。

3. Aを通る直線を引き、円Oとの交点をBとする。ただし、A-B間の距離をxとする。

4. Aから円の接線を引く。その長さを1とする。

方べきの定理より、円O上の点Aから円外の点Pを通る直線を引き、円との交点をB, Cとすると、$PA \cdot PB = PT^2$ （PTは接線）

この問題では、$x(x+3) = 1$より、$PA = x$, $PB = x+3$, $PT=1$

$x^2+3x-1=0$の解は

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

正の解は $x = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$

作図の手順:

1. 直線L上に点Aをとる。

2. Aから3だけ離れた点Oをとる。

3. Oを中心として半径3の円を描く。

4. Aを通る円の接線を引く。

5. 接線の長さを1とする(長さ1の線分を使用)。

6. 点Aから円の内部に向かって長さxだけ離れた点をBとする。ABがxである。

別の方法:

二次方程式 $x^2+3x-1=0$ の正の解は、$x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$

$\sqrt{13}$を作図する。

1. 長さ1の線分をABとする。

2. 直線l上に点Aをとり、ABを直線l上に置く。

3. 点Bで直線lに垂直な直線を引く。

4. 点Bを中心として、半径AB=1の円を描き、2で引いた直線との交点をCとする。BC=1となる。

5. 線分ACを引くと、三平方の定理より、AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

6. 点CでACに垂直な直線を引く。

7. 点Cを中心として、半径AB=1の円を描き、5で引いた直線との交点をDとする。CD=1となる。

8. 線分ADを引くと、三平方の定理より、AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$

9. 同様の手順で$\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{9}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}$を作図する。

1

0. $\sqrt{13}$から3を引く。

1

1. さらにそれを2で割る。

3. 最終的な答え

(1) 長さ$\sqrt{5}$の線分の作図: 上記参照

(2) 2次方程式 $x^2+3x-1=0$ の正の解に等しい線分の作図: 上記参照