座標空間内に4点O(0,0,0), A(4,a,b), B(2,3,2), C(0,5,1)がある。これら4点は同一平面上にあり、かつ$\angle AOB = 90^{\circ}$を満たすとき、実数$a$、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内に4点O(0,0,0), A(4,a,b), B(2,3,2), C(0,5,1)がある。これら4点は同一平面上にあり、かつ$\angle AOB = 90^{\circ}$を満たすとき、実数$a$、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AOB = 90^{\circ}$の条件から、$a$、$b$の関係式を求める。

$\overrightarrow{OA} = (4, a, b)$, $\overrightarrow{OB} = (2, 3, 2)$であるから、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$となる。

$4 \cdot 2 + a \cdot 3 + b \cdot 2 = 0$

$8 + 3a + 2b = 0$

$3a + 2b = -8$

次に、4点O, A, B, Cが同一平面上にある条件を考える。

3点O, B, Cを含む平面上に点Aがあるという条件は、$\overrightarrow{OA}$が$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OC}$の線形結合で表せるということである。

つまり、実数$s, t$を用いて、

$\overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

$(4, a, b) = s(2, 3, 2) + t(0, 5, 1)$

$(4, a, b) = (2s, 3s+5t, 2s+t)$

このベクトル方程式から、次の3つの式を得る。

$4 = 2s$

$a = 3s+5t$

$b = 2s+t$

最初の式より、$s = 2$。

これを残りの2式に代入すると、

$a = 6+5t$

$b = 4+t$

これらの式を$3a + 2b = -8$に代入する。

$3(6+5t) + 2(4+t) = -8$

$18+15t + 8+2t = -8$

$17t = -34$

$t = -2$

よって、$a = 6+5(-2) = 6-10 = -4$

$b = 4+(-2) = 2$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 2$