(1) 正五角形の面から作られる正十二面体について、頂点の数と辺の数を求める。 (2) 正二十面体について、頂点の数と辺の数を求める。

1. 問題の内容

(1) 正五角形の面から作られる正十二面体について、頂点の数と辺の数を求める。

(2) 正二十面体について、頂点の数と辺の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正十二面体について

面の数が12である。各面は正五角形である。

正十二面体の頂点の数を$V$、辺の数を$E$とする。

各頂点には3つの面が集まっている。

面の総数は12で、各面は五角形だから、面の辺の総数は$12 \times 5 = 60$である。

しかし、それぞれの辺は2つの面で共有されているので、辺の数は$E = \frac{60}{2} = 30$である。

各面は五角形であり、それぞれの角に頂点があるので、面の頂点の総数は$12 \times 5 = 60$である。

各頂点には3つの面が集まっているため、頂点の数は$V = \frac{60}{3} = 20$である。

(2) 正二十面体について

各面は合同な正三角形である。1つの頂点に集まる面の数は5である。

正二十面体の頂点の数を$V$、辺の数を$E$とする。

面の数は20である。

各面は正三角形なので、面の辺の総数は$20 \times 3 = 60$である。

それぞれの辺は2つの面で共有されているので、辺の数は$E = \frac{60}{2} = 30$である。

各面は三角形であり、それぞれの角に頂点があるので、面の頂点の総数は$20 \times 3 = 60$である。

各頂点には5つの面が集まっているため、頂点の数は$V = \frac{60}{5} = 12$である。

3. 最終的な答え

(1) 正十二面体の頂点の数は20であり、辺の数は30である。

(2) 正二十面体の頂点の数は12であり、辺の数は30である。