三角形ABCにおいて、$\angle A = 86^\circ$, $\angle B = 76^\circ$ である。三角形ABCの内心をI、外心をOとする。三角形ABCの外接円と直線AI, AOの交点で、Aと異なる点をそれぞれD, Eとするとき、$\angle ADE$, $\angle AEB$, $\angle BED$, $\angle DAE$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 86^\circ$, $\angle B = 76^\circ$ である。三角形ABCの内心をI、外心をOとする。三角形ABCの外接円と直線AI, AOの交点で、Aと異なる点をそれぞれD, Eとするとき、$\angle ADE$, $\angle AEB$, $\angle BED$, $\angle DAE$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle C$ を求める。

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ より、

$\angle C = 180^\circ - 86^\circ - 76^\circ = 18^\circ$

次に、$\angle BAI$ を求める。Iは内心なので、$\angle BAI = \angle A / 2 = 86^\circ / 2 = 43^\circ$

同様に、$\angle ABI = \angle B / 2 = 76^\circ / 2 = 38^\circ$

$\angle BIC = 180^\circ - \angle IBC - \angle ICB = 180^\circ - \angle B/2 - \angle C/2 = 180^\circ - 38^\circ - 9^\circ = 133^\circ$

円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 86^\circ$

また、ADは$\angle A$の二等分線であるから、$BD = CD$である。よって$\angle DBC = \angle DCB = \angle A / 2 = 43^\circ$

$\angle ADE = \angle ABC = 76^\circ$ (円周角の定理)

$\angle ABE = \angle ACE$

$\angle AEB = \angle ACB = 18^\circ$

$\angle BAD = \angle CAD = 43^\circ$

$\angle BED = \angle BAD = 43^\circ$ (円周角の定理)

$\angle DAE = |\angle OAE - \angle OAD|$

$\angle BOE = 2 \angle BAE$

$\angle OBE = \angle OAE$

$\angle OAB = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$

$\angle EAB = \angle OAB - \angle OAE = 72^\circ - \angle OAE$

$OA = OE$より、$\angle OEA = \angle OAE$, よって、$\angle AOE = 180^\circ - 2\angle OAE$

$\angle DAE = \angle EAI = \angle OAI = |\angle OAB - \angle IAB| = |72^\circ - 43^\circ| = 29^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle ADE = 76^\circ$

$\angle AEB = 18^\circ$

$\angle BED = 43^\circ$

$\angle DAE = 29^\circ$