四面体OABCにおいて、三角形OBCの重心をG、辺OAの中点をMとする。線分MGを3:2に内分する点をPとする。 (1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OG}$と$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。 (2) 三角形ABCの重心をHとするとき、3点O, P, Hが一直線上にあることを示す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、三角形OBCの重心をG、辺OAの中点をMとする。線分MGを3:2に内分する点をPとする。

(1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OG}$と$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

(2) 三角形ABCの重心をHとするとき、3点O, P, Hが一直線上にあることを示す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{OG}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。Gは三角形OBCの重心なので、

$$\vec{OG} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$$

次に、$\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{a}$である。点Pは線分MGを3:2に内分するので、

$$\vec{OP} = \frac{2\vec{OM} + 3\vec{OG}}{3+2} = \frac{2(\frac{1}{2}\vec{a}) + 3(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{3})}{5} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{5}$$

(2) Hは三角形ABCの重心なので、

$$\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

ここで、$\vec{OP} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{5}$ と $\vec{OH} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ を見ると、

$$\vec{OP} = \frac{3}{5} \vec{OH}$$

が成り立つ。これは$\vec{OP}$が$\vec{OH}$の定数倍であることを示しており、O, P, Hは同一直線上にあることを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$, $\vec{OP} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{5}$

(2) 3点O, P, Hは一直線上にある。