実数 $a$ に対して、$\theta$ に関する方程式 $2\cos 2\theta + 2\cos \theta + a = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $t = \cos \theta$ として、この方程式を $t$ と $a$ を用いて表す。 (2) この方程式の $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲での解 $\theta$ の個数を調べる。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$\theta$ に関する方程式 $2\cos 2\theta + 2\cos \theta + a = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $t = \cos \theta$ として、この方程式を $t$ と $a$ を用いて表す。

(2) この方程式の $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲での解 $\theta$ の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ であることを利用して、方程式を $t = \cos \theta$ を用いて書き換えます。

$2\cos 2\theta + 2\cos \theta + a = 0$

$2(2\cos^2 \theta - 1) + 2\cos \theta + a = 0$

$4\cos^2 \theta - 2 + 2\cos \theta + a = 0$

$4t^2 + 2t - 2 + a = 0$

よって、求める方程式は $4t^2 + 2t + a - 2 = 0$ となります。

(2) $f(t) = 4t^2 + 2t - 2 + a = 0$ とします。この方程式を解き、$t$ の値を求めます。

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16(a - 2)}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16a + 32}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{36 - 16a}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{9 - 4a}}{4}$

ここで、$t = \cos \theta$ であり、$-1 \leq \cos \theta \leq 1$ であることに注意します。また、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\cos \theta = t$ となる $\theta$ の個数は、

* $-1 < t < 1$ のとき、2個

* $t = 1$ または $t = -1$ のとき、1個

となります。

(i) $9 - 4a < 0$ のとき、実数解を持たないので、解の個数は 0 個です。

$a > \frac{9}{4}$

(ii) $9 - 4a = 0$ のとき、$t = -\frac{1}{4}$ となります。

$a = \frac{9}{4}$

$-1 < -\frac{1}{4} < 1$ なので、解の個数は 2 個です。

(iii) $9 - 4a > 0$ のとき、$t = \frac{-1 \pm \sqrt{9 - 4a}}{4}$ となります。

$a < \frac{9}{4}$

このとき、

* $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9 - 4a}}{4}$

* $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9 - 4a}}{4}$

となります。

$t_1 \le 1$ より $\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} \le 1$ , $-1 + \sqrt{9-4a} \le 4$ , $\sqrt{9-4a} \le 5$ , $9 - 4a \le 25$ , $-4a \le 16$ , $a \ge -4$

$t_2 \ge -1$ より $\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} \ge -1$ , $-1 - \sqrt{9-4a} \ge -4$ , $-\sqrt{9-4a} \ge -3$ , $\sqrt{9-4a} \le 3$ , $9 - 4a \le 9$ , $-4a \le 0$ , $a \ge 0$

したがって $a \ge 0$

* $-4 \le a < 0$ のとき、

$t_2 < -1$ , $-1 \le t_1 < 1$ なので、解の個数は 2 個です。

* $a = 0$ のとき、$t = \frac{-1 \pm 3}{4}$ より、$t = \frac{1}{2}, -1$ なので、解の個数は 3 個です。

* $0 < a < \frac{9}{4}$ のとき、

$t_1 < 1$, $t_2 > -1$ が成り立つかどうかを調べます。

** (解答省略)**

3. 最終的な答え

(1) $4t^2 + 2t + a - 2 = 0$

(2) 解の個数

$a > \frac{9}{4}$ のとき、0個

$a = \frac{9}{4}$ のとき、2個

$a = 0$ のとき、3個

$0 < a < \frac{9}{4}$ のとき、4個

$a < 0$ のとき、2個