与えられた式 $(a+3b)^2 (a-3b)^2$ を展開し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+3b)^2 (a-3b)^2$ を展開し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(a+3b)$ と $(a-3b)$ の積を計算します。これは和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を使って簡単にできます。

$(a+3b)(a-3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(a+3b)^2 (a-3b)^2 = [(a+3b)(a-3b)]^2$

上で求めた結果を代入すると、

$(a^2 - 9b^2)^2$

これを展開します。二項の平方の公式 $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ を用いると、

$(a^2 - 9b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(9b^2) + (9b^2)^2$

$= a^4 - 18a^2b^2 + 81b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 18a^2b^2 + 81b^4$