与えられた式 $(2x-3y)^2 (2x+3y)^2$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2x-3y)^2 (2x+3y)^2$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $(a-b)^2(a+b)^2$ の形と見て、$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を利用する。

$(2x-3y)^2 (2x+3y)^2 = [(2x-3y)(2x+3y)]^2$

次に、$a = 2x$、$b = 3y$ と置くと、$(2x-3y)(2x+3y) = (2x)^2 - (3y)^2$ となる。

$(2x)^2 = 4x^2$

$(3y)^2 = 9y^2$

したがって、$(2x-3y)(2x+3y) = 4x^2 - 9y^2$ となる。

これより、

$[(2x-3y)(2x+3y)]^2 = (4x^2 - 9y^2)^2$

$(4x^2 - 9y^2)^2$ を展開する。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用して、$a = 4x^2$、$b = 9y^2$ と置くと、

$(4x^2)^2 = 16x^4$

$(9y^2)^2 = 81y^4$

$2(4x^2)(9y^2) = 72x^2y^2$

したがって、 $(4x^2 - 9y^2)^2 = (4x^2)^2 - 2(4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2 = 16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$

3. 最終的な答え

$16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$