与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2(x^2+1)^2$ を展開し、最も簡単な形で表してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2(x^2+1)^2$ を展開し、最も簡単な形で表してください。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ を展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x+1)^2(x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

ここで、$A = x^2 + 1$ とおくと、

$(x+1)^2(x-1)^2 = (A + 2x)(A - 2x) = A^2 - (2x)^2 = (x^2+1)^2 - 4x^2$

$(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

したがって、

$(x+1)^2(x-1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

これは $(x^2-1)^2$ または $(x-1)^2(x+1)^2 = (x^2 -1)^2$ とも書けます。

与えられた式は $(x+1)^2(x-1)^2(x^2+1)^2$ でしたので、これに $(x^2+1)^2$ を掛けます。

$(x^4 - 2x^2 + 1)(x^2+1)^2 = (x^4 - 2x^2 + 1)(x^4 + 2x^2 + 1)$

ここで、$B = x^4 + 1$ とおくと、

$(B - 2x^2)(B + 2x^2) = B^2 - (2x^2)^2 = (x^4+1)^2 - 4x^4$

$(x^4+1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1$

したがって、

$(x+1)^2(x-1)^2(x^2+1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1 - 4x^4 = x^8 - 2x^4 + 1$

これは $(x^4 - 1)^2$ とも書けます。

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4 + 1$