問題は、式 $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を展開して簡略化することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を展開して簡略化することです。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2$と$(x+y)^2$を展開します。

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x-y)^2(x+y)^2 = (x^2 - 2xy + y^2)(x^2 + 2xy + y^2)$

これは、$(A-B)(A+B)=A^2 - B^2$の形に似ています。ここで、$A=x^2+y^2$、$B=2xy$です。

よって、

$(x^2 - 2xy + y^2)(x^2 + 2xy + y^2) = (x^2+y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2+y^2)^2 - 4x^2y^2$

$(x^2+y^2)^2$ を展開します。

$(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

したがって、

$(x-y)^2(x+y)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

これは $(x^2-y^2)^2$ と同じです。

次に、$(x^2+y^2)^2$ を展開します。

$(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

最後に、$(x-y)^2(x+y)^2$ の結果と $(x^2+y^2)^2$ の結果を掛け合わせます。

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = (x^4 + y^4 - 2x^2y^2)(x^4 + y^4 + 2x^2y^2)$

これは再び $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ の形です。ここで、$A = x^4+y^4$、$B=2x^2y^2$です。

$(x^4+y^4)^2 - (2x^2y^2)^2 = (x^8 + 2x^4y^4 + y^8) - 4x^4y^4 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

これは $(x^4-y^4)^2$ と同じです。

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4y^4 + y^8$