放物線 $y = x^2$ と直線 $y = m(x-1)$ が異なる2点P, Qで交わるとき、実数 $m$ が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = m(x-1)$ が異なる2点P, Qで交わるとき、実数 $m$ が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=m(x-1)$ の交点の $x$ 座標を求めるために、2つの式を連立させる。

$x^2 = m(x-1)$

$x^2 - mx + m = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、2つの異なる点で交わるためには、$D > 0$ である必要がある。

$D = (-m)^2 - 4(1)(m) = m^2 - 4m > 0$

$m(m-4) > 0$

よって、$m < 0$ または $m > 4$ である。

2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = m$

中点 M の $x$ 座標を $x_M$ とすると、

$x_M = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{m}{2}$

中点 M の $y$ 座標を $y_M$ とすると、中点 M は放物線 $y=x^2$ 上の点ではないので、直線 $y=m(x-1)$ 上の点である。

$y_M = m(x_M - 1) = m(\frac{m}{2} - 1) = \frac{m^2}{2} - m$

$x_M = \frac{m}{2}$ より、$m = 2x_M$ であるから、これを $y_M$ の式に代入する。

$y_M = \frac{(2x_M)^2}{2} - 2x_M = \frac{4x_M^2}{2} - 2x_M = 2x_M^2 - 2x_M$

したがって、中点 M の軌跡は $y = 2x^2 - 2x$ である。

$m < 0$ のとき、$x = \frac{m}{2} < 0$

$m > 4$ のとき、$x = \frac{m}{2} > 2$

したがって、$x < 0$ または $x > 2$ である。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 2x$ ($x < 0$ または $x > 2$)