円Oの周上に点A, B, C, D, Eがあり、ACとBDの交点をF、ABとDCの延長線の交点をGとする。$\angle BDC = 25^\circ$, $\angle AFD = 100^\circ$のとき、以下の問題を解く。 (1) $\angle x$の大きさを求めよ。 (2) 点Eが弧AD上を動くとき、 (ア) 四角形ACDEがAE//CDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求めよ。 (イ) 四角形ACDEがAC//EDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円Oの周上に点A, B, C, D, Eがあり、ACとBDの交点をF、ABとDCの延長線の交点をGとする。$\angle BDC = 25^\circ$, $\angle AFD = 100^\circ$のとき、以下の問題を解く。

(1) $\angle x$の大きさを求めよ。

(2) 点Eが弧AD上を動くとき、

(ア) 四角形ACDEがAE//CDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求めよ。

(イ) 四角形ACDEがAC//EDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle x$の大きさを求める。

まず、$\angle DFC = \angle AFD = 100^\circ$である。

$\triangle DFC$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle DCF = 180^\circ - (\angle DFC + \angle BDC) = 180^\circ - (100^\circ + 25^\circ) = 55^\circ$

よって、$\angle DCF = 55^\circ$である。

$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$（円周角の定理）

$\triangle ABF$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle ABF = 180^\circ - (\angle BAF + \angle AFD) = 180^\circ - (25^\circ + 100^\circ) = 55^\circ$

よって、$\angle ABF = 55^\circ$である。

四角形ABCEについて、$\angle AEC = 180^\circ - \angle ABC$が成り立つ。

$\angle ABC = \angle ABF + \angle FBC$なので、$\angle AEC = 180^\circ - (55^\circ + \angle FBC)$となる。

また、$\angle ACB = \angle AEB$である（円周角の定理）。

ここで、$\angle G = x$とする。

$\triangle GBC$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$x + \angle GCB + \angle GBC = 180^\circ$

$x + 55^\circ + \angle GBC = 180^\circ$

$\angle GBC = 125^\circ - x$

したがって、$\angle ABF = 55^\circ$より、$\angle ABC = 125^\circ - x$となる。

$\angle ABC + \angle AEC = 180^\circ$（円に内接する四角形の対角の和は180度であるから）

$\angle AEC = 180^\circ - (125^\circ - x) = 55^\circ + x$

$\angle DAE = \angle DCE = 55^\circ$

$\angle DAE = \angle DBE = 25^\circ$なので、$\angle CAE = \angle DAE - \angle DAC = 55^\circ$

$\angle BAC = 25^\circ$より、$\angle BAE = 25^\circ + \angle CAE$

$\angle DAE = 55^\circ$

$\triangle CDG$で考える。

$x + \angle GCD + \angle CDG = 180^\circ$

$x + 55^\circ + 25^\circ = 180^\circ$

$x = 100^\circ$

(2) (ア) 四角形ACDEがAE//CDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

$AE // CD$より、$\angle AED = \angle CDE$

$\angle AED + \angle ACD = 180^\circ$（平行線の同位角は等しい）

$\angle AED = \angle CDE$

$\angle CAE = x$

$\angle ACE = \angle ADE$

$\angle ACD = \angle AED = 25^\circ$

したがって、$\angle CAE = 25^\circ$

(イ) 四角形ACDEがAC//EDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

$AC // ED$より、$\angle ACD = \angle CDE$

$\angle CDE = 25^\circ$

$\angle CAE = \angle EAD$

$\angle ECA = \angle EDA$

$\angle ACE = \angle ADE$

$AC // ED$より、$\angle EDC = \angle ACD$

$\angle EDC = 25^\circ$

$\angle CAD = \angle CED$

$\angle CAE = y$

$\angle EDA + \angle DCA = 180^\circ$

$\angle EAC = 80^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\angle x = 30^\circ$

(2) (ア) $\angle CAE = 80^\circ$

(イ) $\angle CAE = 25^\circ$