(4) 半径 $r$ mの円形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ であることを示す。 (5) 1辺が4 mの正方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線分の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ であることを示す。

1. 問題の内容

(4) 半径 $r$ mの円形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ であることを示す。

(5) 1辺が4 mの正方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線分の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(4)

道の面積 $S$ は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものである。外側の円の半径は $r + a$ mなので、面積は $\pi (r+a)^2$ m$^2$。内側の円の半径は $r$ mなので、面積は $\pi r^2$ m$^2$。

したがって、

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi (r^2 + 2ra + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi ra + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi ra + \pi a^2$

道の真ん中を通る円の半径は $r + \frac{a}{2}$ mなので、円周の長さ $l$ は、

$l = 2\pi (r + \frac{a}{2}) = 2\pi r + \pi a$

したがって、

$al = a(2\pi r + \pi a) = 2\pi ra + \pi a^2$

よって、$S = al$ が成り立つ。

(5)

道の面積 $S$ は、外側の正方形の面積から内側の正方形の面積を引いたものである。内側の正方形の一辺の長さは4 m。外側の正方形の一辺の長さは $4 + 2a$ m。

したがって、

$S = (4+2a)^2 - 4^2$

$S = (16 + 16a + 4a^2) - 16$

$S = 16a + 4a^2$

道の真ん中を通る正方形の一辺の長さは $4 + a$ m。

$l = 4(4+a) = 16+4a$

したがって、

$al = a(16+4a) = 16a + 4a^2$

よって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(4) $S=al$ が成り立つ。

(5) $S=al$ が成り立つ。