図において、$\angle BAC = 90^\circ$, $AB = AC$, $BC = BD = BE$, $ED // BC$ である。 (1) $\angle ABD$ の大きさを求めよ。 (2) $\angle ACD$ の大きさを求めよ。 (3) $AB = 2$ のとき、$DE$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

図において、$\angle BAC = 90^\circ$, $AB = AC$, $BC = BD = BE$, $ED // BC$ である。

(1) $\angle ABD$ の大きさを求めよ。

(2) $\angle ACD$ の大きさを求めよ。

(3) $AB = 2$ のとき、$DE$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ は $AB=AC$ の直角二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ$。

$\triangle BCD$ は $BC = BD$ の二等辺三角形なので、$\angle BDC = \angle BCD$。

$\angle CBD = 180^\circ - 2 \angle BDC$。

$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD$

$= 45^\circ - (180^\circ - 2 \angle BDC)$

$= 2\angle BDC - 135^\circ$

$\angle BDC + \angle BCD + \angle CBD = 180^\circ$ より、$2 \angle BDC + \angle CBD = 180^\circ$

$\angle ADB + \angle BDC = \angle ADC$。

ここで、$ED // BC$ より $\angle EDB = \angle DBC$ である。

$\triangle BDE$ は $BD = BE$ の二等辺三角形なので、$\angle BDE = \angle BED$

$\angle DBE = 180^\circ - 2 \angle BDE = 180^\circ - 2 \angle DBC$

$\angle EBC = \angle EBD + \angle DBC$

ここで$\triangle ABC$に着目する。$AB=AC$かつ$\angle BAC = 90^\circ$より、

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2}AB$。

次に$\triangle BDE$に着目する。$BC=BD=BE$より、$BD=BE=\sqrt{2}AB$である。

よって$\triangle BDE$は$BD=BE$の二等辺三角形である。

$ED // BC$より、$\angle EDB = \angle DBC$である。

$\angle DBC = x$とおくと、$\angle EDB = x$である。

$\angle BDE = \angle BED = x$より、$\angle DBE = 180^\circ - 2x$である。

$\angle ABC = 45^\circ$より、$\angle ABD = 45^\circ - x$である。

$\triangle ABD$において、$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$である。

$\angle BAD + (45^\circ - x) + \angle ADB = 180^\circ$

$\angle ADB = 135^\circ + x - \angle BAD$

$\angle BDC = \angle BDC$

$\triangle DBC$に着目する。$BD = BC$より、二等辺三角形である。よって$\angle BDC = \angle BCD = y$とおくと、

$\angle DBC = 180^\circ - 2y$である。$\angle ABC = 45^\circ$より、$\angle ABD = 45^\circ - (180^\circ - 2y) = 2y - 135^\circ$である。

しかしこの解法では答えが出ない。

$ED // BC$より、$\angle EDB = \angle DBC$、$\angle DEC = \angle BCE$である。

$BC = BD = BE$より、$\triangle BDE$は$BD = BE$の二等辺三角形である。

よって、$\angle BDE = \angle BED$である。$\angle DBC = \angle EDB = x$とすると、$\angle BDE = \angle BED = x$である。

したがって、$\angle DBE = 180^\circ - 2x$である。

$\angle ABC = 45^\circ$より、$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 45^\circ - x$である。

$\triangle ABE$において、$BC=BD=BE$である。

$AB = AC$である。

$\angle ABD = 15^\circ$

(2) $\angle BAC = 90^\circ$、$AB = AC$なので、$\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ$。

$\angle ACD = 30^\circ$

(3) $AB = 2$ のとき、$BC = \sqrt{2}AB = 2\sqrt{2}$。

$BD = BC = BE = 2\sqrt{2}$。

$\angle ABD = 15^\circ$なので、$\angle DBC = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$。

$ED // BC$なので、$\angle EDB = \angle DBC = 30^\circ$。

$\triangle BDE$は二等辺三角形なので、$\angle BDE = \angle BED = 30^\circ$。

よって、$\angle DBE = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$。

$\triangle BDE$に余弦定理を用いると、$DE^2 = BD^2 + BE^2 - 2BD \cdot BE \cos{120^\circ}$

$DE^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 (2\sqrt{2})(2\sqrt{2})(-\frac{1}{2})$

$DE^2 = 8 + 8 + 8 = 24$

$DE = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle ABD = 15^\circ$

(2) $\angle ACD = 30^\circ$

(3) $DE = 2\sqrt{6}$