正六角形ABCDEFの辺上に点P, Q, Rがあり、AP:PB = CQ:QD = 1:3, ER:RF = 1:1 である。三角形PQRの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍か求める。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFの辺上に点P, Q, Rがあり、AP:PB = CQ:QD = 1:3, ER:RF = 1:1 である。三角形PQRの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍か求める。

2. 解き方の手順

正六角形の一辺の長さを $4a$ とすると、AP = CQ = $a$, PB = QD = $3a$, ER = RF = $2a$となる。

まず正六角形ABCDEFの面積を求める。正六角形は、一辺の長さが $4a$ の正三角形6個に分割できる。

正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} (\text{辺の長さ})^2$ で求められるので、正六角形の面積は

$6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} (4a)^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16a^2 = 24\sqrt{3} a^2$

次に、三角形PQRの面積を求める。

三角形PQRの面積は、正六角形の面積から、三角形APR, PBQ, QDR, REFの面積を引くことで求める。

三角形APRの面積: $\frac{1}{2} \times AP \times AR \times \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \times a \times 6a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

三角形PBQの面積: $\frac{1}{2} \times PB \times BQ \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 3a \times 3a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} a^2$

三角形QDRの面積: $\frac{1}{2} \times QD \times DE \times \sin{120^\circ} + \frac{1}{2} \times QR \times \sin{120^\circ}$の様な計算は複雑になるので、正六角形の面積から引く方法をとる。

三角形REFの面積: $\frac{1}{2} \times RE \times EF \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 2a \times 4a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} a^2$

三角形APR, PBQ, QCR, RDFを正六角形の面積から引いて三角形PQRを求めたいところだが、計算を簡単にするため、正六角形の面積から三角形APR, PBQ, QDR, REFを引く。

三角形QDRの面積: $\frac{1}{2} \times DQ \times DE \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 3a \times 4a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} a^2$

三角形PQRの面積 = 正六角形の面積 - (三角形APR + 三角形PBQ + 三角形QDR + 三角形REF)

$= 24\sqrt{3} a^2 - (\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{9\sqrt{3}}{4} a^2 + 3\sqrt{3} a^2 + 2\sqrt{3} a^2)$

$= 24\sqrt{3} a^2 - (\frac{6\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 8\sqrt{3}}{4}) a^2$

$= 24\sqrt{3} a^2 - \frac{35\sqrt{3}}{4} a^2$

$= \frac{96\sqrt{3} - 35\sqrt{3}}{4} a^2$

$= \frac{61\sqrt{3}}{4} a^2$

$\frac{\text{三角形PQRの面積}}{\text{正六角形の面積}} = \frac{\frac{61\sqrt{3}}{4} a^2}{24\sqrt{3} a^2} = \frac{61}{4 \times 24} = \frac{61}{96}$

3. 最終的な答え

$\frac{61}{96}$ 倍