与えられた3次方程式 $x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0$ を複素数の範囲で解きます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0$ を複素数の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

まず、この3次方程式の整数解を探します。整数解は定数項の約数である可能性が高いです。定数項は3なので、約数は±1, ±3です。

$x = 1$ を代入すると、$1^3 + 1^2 - 5(1) + 3 = 1 + 1 - 5 + 3 = 0$ となり、$x = 1$ は解であることがわかります。

したがって、与えられた3次式は $(x - 1)$ を因数に持ちます。多項式の割り算（または組み立て除法）を用いて、$x^3 + x^2 - 5x + 3$ を $(x - 1)$ で割ります。

$x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3)$

次に、2次式 $x^2 + 2x - 3$ を因数分解します。

$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$

したがって、$x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x - 1)(x + 3) = (x - 1)^2(x + 3)$ となります。

方程式 $(x - 1)^2(x + 3) = 0$ を解くと、$x = 1$（重解）と $x = -3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = 1, 1, -3$