一辺の長さが1の正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする。 (1) 四面体OBCDの体積$V$を求めよ。 (2) 球の半径$r$を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする。

(1) 四面体OBCDの体積$V$を求めよ。

(2) 球の半径$r$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 四面体OBCDの体積$V$を求める。

正四面体ABCDの体積を$V_{ABCD}$とする。正四面体ABCDは、四面体OBCD, OABC, OABD, OACDの4つに分割できる。

これらの4つの四面体の体積は全て等しく、$V$に等しい。

したがって、$V_{ABCD} = 4V$。

正四面体ABCDの体積$V_{ABCD}$を求める。

正四面体ABCDにおいて、底面を三角形BCDとすると、底面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$。

頂点Aから底面BCDへの垂線の足をHとすると、Hは三角形BCDの重心に一致する。

したがって、$BH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

三角形ABHにおいて、三平方の定理より、$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

よって、$V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{36} = \frac{3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12}$。

$V = \frac{V_{ABCD}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{12} \div 4 = \frac{\sqrt{2}}{48}$。

(2) 球の半径$r$を求める。

正四面体の表面積を$S$とすると、$S = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$。

また、$V_{ABCD} = \frac{1}{3}rS$が成り立つ。

したがって、$r = \frac{3V_{ABCD}}{S} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{2}}{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\sqrt{2}}{48}$

(2) $r = \frac{\sqrt{6}}{12}$