関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 3$ の、区間 $0 \leq x \leq 4$ における値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 3$ の、区間 $0 \leq x \leq 4$ における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分し、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = x^2 - 3x + 2$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。これは極値を与える $x$ の候補である。

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

(3) $x = 1, 2$ が与えられた区間 $0 \leq x \leq 4$ に含まれているか確認する。今回は両方とも含まれている。

(4) 区間の端点 $x = 0, 4$ および極値の候補 $x = 1, 2$ における $f(x)$ の値を計算する。

$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) + 3 = 3$

$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) + 3 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 + 3 = \frac{2 - 9 + 12 + 18}{6} = \frac{23}{6}$

$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) + 3 = \frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4 + 3 = \frac{8}{3} - 6 + 7 = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}$

$f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - \frac{3}{2}(4)^2 + 2(4) + 3 = \frac{64}{3} - \frac{48}{2} + 8 + 3 = \frac{64}{3} - 24 + 11 = \frac{64}{3} - 13 = \frac{64 - 39}{3} = \frac{25}{3}$

(5) $f(0), f(1), f(2), f(4)$ の中で最大値と最小値を求める。

$f(0) = 3 = \frac{18}{6} = \frac{9}{3}$

$f(1) = \frac{23}{6}$

$f(2) = \frac{11}{3} = \frac{22}{6}$

$f(4) = \frac{25}{3} = \frac{50}{6}$

したがって、最小値は $f(0) = 3$、最大値は $f(4) = \frac{25}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$3 \leq f(x) \leq \frac{25}{3}$