三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{2}$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{2}$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、$a$を求める。正弦定理は以下の通りである。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

この問題では、$a$, $b$, $A$, $B$が与えられているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$を用いて、$a$を求める。

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入する。

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

両辺に$\frac{\sqrt{3}}{2}$をかける。

$a = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt{3}$