放物線 $y = x^2 + (2t+2)x + 2t^2$ の頂点を P とします。$t$ が 0 以上の値をとって変化するとき、頂点 P の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + (2t+2)x + 2t^2$ の頂点を P とします。$t$ が 0 以上の値をとって変化するとき、頂点 P の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成して、頂点Pの座標を $t$ を用いて表します。

$y = x^2 + (2t+2)x + 2t^2$ を平方完成します。

$y = (x + (t+1))^2 - (t+1)^2 + 2t^2$

$y = (x + t + 1)^2 - (t^2 + 2t + 1) + 2t^2$

$y = (x + t + 1)^2 + t^2 - 2t - 1$

よって、頂点Pの座標は $(-t-1, t^2 - 2t - 1)$ となります。

次に、頂点Pの座標を $(x, y)$ とおくと、

$x = -t - 1$

$y = t^2 - 2t - 1$

となります。

$x = -t-1$ より、 $t = -x-1$ となります。これを $y$ の式に代入して $t$ を消去します。

$y = (-x-1)^2 - 2(-x-1) - 1$

$y = (x+1)^2 + 2(x+1) - 1$

$y = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 - 1$

$y = x^2 + 4x + 2$

ここで、$t \ge 0$ なので、 $x = -t-1$ より、$x \le -1$ となります。

したがって、求める軌跡は、放物線 $y = x^2 + 4x + 2$ の $x \le -1$ の部分です。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、放物線 $y = x^2 + 4x + 2$ の $x \le -1$ の部分である。