$(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開する。

$(x+y)^n$ の展開式における一般項は ${}_n C_r x^{n-r} y^r$ で表される。

今回は、$(3a-b)^4$ の展開なので、x = 3a, y = -b, n = 4 となる。$ab^3$の項の係数を求めるので、r = 3 を代入して考える。

${}_4 C_3 (3a)^{4-3} (-b)^3$

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4$

よって、${}_4 C_3 (3a)^{4-3} (-b)^3 = 4(3a)(-b)^3 = 4(3a)(-1)^3b^3 = 4(3a)(-1)b^3 = -12ab^3$

したがって、$ab^3$の項の係数は、-12。

3. 最終的な答え

-12