2つの数の和が $2$ であり、2乗の和が $2\sqrt{3}$ であるとき、その2つの数の3乗の和と5乗の和を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの数の和が $2$ であり、2乗の和が $2\sqrt{3}$ であるとき、その2つの数の3乗の和と5乗の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの数を $x, y$ とします。問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$x+y=2$

$x^2+y^2=2\sqrt{3}$

まず、$xy$ の値を求めます。$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ なので、

$2^2 = 2\sqrt{3} + 2xy$

$4 = 2\sqrt{3} + 2xy$

$2xy = 4-2\sqrt{3}$

$xy = 2-\sqrt{3}$

次に、$x^3+y^3$ の値を求めます。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)(x^2+y^2-xy)$ なので、

$x^3+y^3 = 2(2\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})) = 2(2\sqrt{3}-2+\sqrt{3}) = 2(3\sqrt{3}-2) = 6\sqrt{3}-4$

したがって、$x^3+y^3 = 6\sqrt{3}-4$ です。

次に、$x^5+y^5$ を求めます。

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)$ であることを利用します。

$x^5+y^5 = (2\sqrt{3})(6\sqrt{3}-4) - (2-\sqrt{3})^2(2)$

$x^5+y^5 = 36-8\sqrt{3} - (4-4\sqrt{3}+3)(2)$

$x^5+y^5 = 36-8\sqrt{3} - (7-4\sqrt{3})(2)$

$x^5+y^5 = 36-8\sqrt{3} - 14 + 8\sqrt{3}$

$x^5+y^5 = 22$

3. 最終的な答え

3乗の和：$6\sqrt{3}-4$

5乗の和：$22$