定積分を計算する問題です。具体的には、関数 $ -\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x $ の $ -1 $ から $ 1 $ までの定積分を求めます。

1. 問題の内容

定積分を計算する問題です。具体的には、関数 $-\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x$ の $-1$ から $1$ までの定積分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $F(x)$ とします。

$F(x) = -\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x$

定積分の定義により、

$\int_{-1}^{1} F(x) dx = \Big[ -\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x \Big]_{-1}^{1}$

$x = 1$ を代入すると、

$F(1) = -\frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{3}{12} - \frac{4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{12}{12} = \frac{-3 - 4 + 6 + 12}{12} = \frac{11}{12}$

$x = -1$ を代入すると、

$F(-1) = -\frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{12} + \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - \frac{12}{12} = \frac{-3 + 4 + 6 - 12}{12} = \frac{-5}{12}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} F(x) dx = F(1) - F(-1) = \frac{11}{12} - \left( -\frac{5}{12} \right) = \frac{11}{12} + \frac{5}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$