2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -3 のとき、定数 $a$ の値を求め、このときの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -3 のとき、定数 $a$ の値を求め、このときの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

この2次関数のグラフは、頂点が $(3, -9 + a)$ の下に凸な放物線です。

定義域は $1 \le x \le 4$ です。

頂点の $x$ 座標は $x=3$ で、定義域に含まれています。

したがって、この範囲における最小値は、頂点の $y$ 座標 $-9 + a$ で与えられます。

問題文より、最小値は -3 であるので、

$-9 + a = -3$

これを解くと、

$a = 6$

となります。

次に、最大値を求めます。$a=6$ を代入すると、

$y = (x-3)^2 - 9 + 6 = (x-3)^2 - 3$

定義域 $1 \le x \le 4$ における最大値は、$x=1$ のときか、$x=4$ のときに取ります。

$x=1$ のとき $y = (1-3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x=4$ のとき $y = (4-3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

したがって、最大値は 1 となります。

3. 最終的な答え

aの値は 6

最大値は 1