2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸に接するということは、2次方程式 $x^2 - 2(a-1)x + 4 = 0$ が重解を持つということです。

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

で与えられます。

今回の場合は、$a=1$, $b=-2(a-1)$, $c=4$ なので、

$D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(4) = 4(a-1)^2 - 16$

となります。

$D=0$ となることから、

$4(a-1)^2 - 16 = 0$

$(a-1)^2 - 4 = 0$

$(a-1)^2 = 4$

$a-1 = \pm 2$

$a = 1 \pm 2$

よって、$a = 1+2 = 3$ または $a = 1-2 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3, -1$