与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $2x^2 - 3xy - 2y^2$ の部分を因数分解します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$

次に、与えられた式全体を $(2x + y)$ と $(x - 2y)$ を含むように変形することを考えます。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y)(x - 2y) + 5x + 5y - 3$

ここで、$5x + 5y$ の部分を $(2x + y)$ と $(x - 2y)$ の組み合わせで表すことを試みます。つまり、$a(2x + y) + b(x - 2y) = 5x + 5y$ となる $a$ と $b$ を探します。

$2ax + ay + bx - 2by = 5x + 5y$

$(2a + b)x + (a - 2b)y = 5x + 5y$

したがって、以下の連立方程式が成立します。

$2a + b = 5$

$a - 2b = 5$

一つ目の式から $b = 5 - 2a$ となります。これを二つ目の式に代入すると、

$a - 2(5 - 2a) = 5$

$a - 10 + 4a = 5$

$5a = 15$

$a = 3$

$b = 5 - 2a = 5 - 6 = -1$

したがって、$5x + 5y = 3(2x + y) - (x - 2y)$ となります。元の式にこれを代入すると、

$(2x + y)(x - 2y) + 3(2x + y) - (x - 2y) - 3 = (2x + y)(x - 2y + 3) - (x - 2y + 3)$

$= (2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(x-2y+3)$