与えられた不等式を解く問題です。 不等式は以下の通りです。 $4\sqrt{x^3} - \frac{x^2}{\sqrt[1]{6}-\sqrt[1]{5}} + (\sqrt[1]{x+4})^2 - 3.8 \le (x+5)^2(x+1)$ 表記が曖昧なため、以下のように解釈して解きます。 $4\sqrt{x^3} - \frac{x^2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} + (\sqrt{x+4})^2 - 3.8 \le (x+5)^2(x+1)$

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。

不等式は以下の通りです。

$4\sqrt{x^3} - \frac{x^2}{\sqrt[1]{6}-\sqrt[1]{5}} + (\sqrt[1]{x+4})^2 - 3.8 \le (x+5)^2(x+1)$

表記が曖昧なため、以下のように解釈して解きます。

$4\sqrt{x^3} - \frac{x^2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} + (\sqrt{x+4})^2 - 3.8 \le (x+5)^2(x+1)$

2. 解き方の手順

まず、不等式を簡略化します。

$\sqrt{6} + \sqrt{5} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{6 - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

したがって、$\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ なので、$\frac{x^2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = x^2(\sqrt{6} + \sqrt{5})$となります。

また、$(\sqrt{x+4})^2 = x+4$です。

したがって、不等式は以下のように書き換えられます。

$4\sqrt{x^3} - x^2(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + x + 4 - 3.8 \le (x+5)^2(x+1)$

$4x^{3/2} - x^2(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + x + 0.2 \le (x^2 + 10x + 25)(x+1)$

$4x^{3/2} - x^2(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + x + 0.2 \le x^3 + 10x^2 + 25x + x^2 + 10x + 25$

$4x^{3/2} - x^2(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + x + 0.2 \le x^3 + 11x^2 + 35x + 25$

$0 \le x^3 - 4x^{3/2} + x^2(11+\sqrt{6}+\sqrt{5}) + 34x + 24.8$

この不等式を解くことは困難です。グラフを描画するなどして近似解を見つける必要があります。

しかし、$x \ge 0$である必要があり、$x = 0$ のとき、$24.8 \ge 0$ なので、$x = 0$ は解の一つです。

また、$x > 0$ であれば、不等式は常に成立すると思われます。

元の不等式のルートの中身が正である必要があるため、$x \ge 0$ かつ $x+4 \ge 0$である必要があります。したがって、$x \ge 0$です。

3. 最終的な答え

$x \ge 0$