多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 1$ であり、余りが $-3x + 1$ である。このとき、$B$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 1$ であり、余りが $-3x + 1$ である。このとき、$B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式は次の通りです。

(割られる式) = (割る式) × (商) + (余り)

この問題では、割られる式が $x^3 + x^2 - 3x - 1$、割る式が $B$、商が $x - 1$、余りが $-3x + 1$ です。したがって、次の式が成り立ちます。

$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x - 1) + (-3x + 1)$

$B$ を求めるために、上記の式を変形します。

まず、余りを左辺に移項します。

$x^3 + x^2 - 3x - 1 - (-3x + 1) = B(x - 1)$

$x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1 = B(x - 1)$

$x^3 + x^2 - 2 = B(x - 1)$

次に、$B$ を求めるために、両辺を $(x - 1)$ で割ります。

$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x - 1}$

多項式 $x^3 + x^2 - 2$ を $x - 1$ で割ります。

$x^3 + x^2 - 2 = (x - 1)(x^2 + 2x + 2)$

したがって、$B$ は次のようになります。

$B = x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 2x + 2$