多項式 $A$ を $2x+1$ で割ると、商が $x^2-3x-2$ で、余りが $4$ である。このとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $A$ を $2x+1$ で割ると、商が $x^2-3x-2$ で、余りが $4$ である。このとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると、以下の関係式が成り立つ。

$A = BQ + R$

この問題では、$B = 2x+1$, $Q = x^2-3x-2$, $R = 4$ である。したがって、

$A = (2x+1)(x^2-3x-2) + 4$

この式を展開して $A$ を求める。

まず、$(2x+1)(x^2-3x-2)$ を計算する。

$(2x+1)(x^2-3x-2) = 2x(x^2-3x-2) + 1(x^2-3x-2) = 2x^3 - 6x^2 - 4x + x^2 - 3x - 2 = 2x^3 - 5x^2 - 7x - 2$

したがって、

$A = 2x^3 - 5x^2 - 7x - 2 + 4 = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

3. 最終的な答え

$A = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$