与えられた連立方程式を解き、$T$と$N$を$m$と$g$を用いて表す問題です。連立方程式は以下の通りです。 \begin{cases} mg = N \cos 30^\circ + T \sin 30^\circ \\ N \sin 30^\circ = T \cos 30^\circ \end{cases}

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解き、$T$と$N$を$m$と$g$を用いて表す問題です。連立方程式は以下の通りです。

\begin{cases}

mg = N \cos 30^\circ + T \sin 30^\circ \\

N \sin 30^\circ = T \cos 30^\circ

\end{cases}

2. 解き方の手順

まず、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$と$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$を代入します。

すると、連立方程式は

\begin{cases}

mg = \frac{\sqrt{3}}{2} N + \frac{1}{2} T \\

\frac{1}{2} N = \frac{\sqrt{3}}{2} T

\end{cases}

となります。

第2式から$N$を$T$で表します。

$\frac{1}{2} N = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ より、

$N = \sqrt{3} T$

これを第1式に代入します。

$mg = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3} T) + \frac{1}{2} T$

$mg = \frac{3}{2} T + \frac{1}{2} T$

$mg = \frac{4}{2} T$

$mg = 2T$

よって、$T = \frac{mg}{2}$

次に、$N = \sqrt{3} T$に$T = \frac{mg}{2}$を代入して、$N$を求めます。

$N = \sqrt{3} \cdot \frac{mg}{2}$

$N = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$

3. 最終的な答え

$T = \frac{mg}{2}$

$N = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$