問題1は、与えられた分数式の除算を計算し、簡約化された式を選択肢から選ぶ問題です。 問題2は、$2x^2 + 3x - 1 = a(x+1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を係数比較法によって定める問題です。ただし、$a=2, 2a+b=3, a-b+c=4$ であることは既に分かっており、$b$ と $c$ の値を求め、選択肢から選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた分数式の除算を計算し、簡約化された式を選択肢から選ぶ問題です。

問題2は、$2x^2 + 3x - 1 = a(x+1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を係数比較法によって定める問題です。ただし、$a=2, 2a+b=3, a-b+c=4$ であることは既に分かっており、$b$ と $c$ の値を求め、選択肢から選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

問題1：

与えられた式は

$\frac{x^2 - 2xy}{x^2 - xy - 12y^2} \div \frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 5xy + 6y^2}$

です。

除算を乗算に変換し、各多項式を因数分解します。

$\frac{x(x - 2y)}{(x-4y)(x+3y)} \times \frac{(x+2y)(x+3y)}{(x-2y)(x+2y)}$

共通因子をキャンセルします。$x-2y, x+3y, x+2y$ が共通因子です。

$\frac{x}{x-4y}$

問題2：

まず、$2a+b=3$ に $a=2$ を代入して $b$ の値を求めます。

$2(2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = 3 - 4$

$b = -1$

次に、$a-b+c=4$ に $a=2$ と $b=-1$ を代入して $c$ の値を求めます。

$2 - (-1) + c = 4$

$2 + 1 + c = 4$

$3 + c = 4$

$c = 4 - 3$

$c = 1$

3. 最終的な答え

問題1の答え：②

問題2の答え：$a=2, b=-1, c=1$. よって、$a=2$, $b$ は ④、 $c$ は選択肢にありません.

問題文に矛盾がある。しかし、

$2x^2+3x-1 = a(x+1)^2 + b(x-1) + c$

に$a=2$を代入すると、

$2x^2+3x-1 = 2(x+1)^2 + b(x-1) + c$

$2x^2+3x-1 = 2(x^2+2x+1) + b(x-1) + c$

$2x^2+3x-1 = 2x^2+4x+2 + bx-b + c$

$2x^2+3x-1 = 2x^2+(4+b)x+(2-b+c)$

係数比較より、$3 = 4+b$なので、$b=-1$

$-1=2-b+c$に$b=-1$を代入すると、

$-1 = 2-(-1)+c$

$-1 = 3+c$

$c=-4$

よって、b=-1, c=-4

問題文に矛盾がある。

答えは、

問題1: ②

問題2: b = ④, c = ①