問題41の(1)と(2)の2次関数について、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1$, $-2 \le x < 1$ (2) $y = 2x^2 + 3x + 4$, $0 < x \le 2$

1. 問題の内容

問題41の(1)と(2)の2次関数について、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$, $-2 \le x < 1$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 4$, $0 < x \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ について：

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 3$

この関数のグラフは上に凸の放物線で、頂点は $(-1, 3)$ です。定義域は $-2 \le x < 1$ です。

$x = -1$ のとき、$y = 3$ で、これは最大値です。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

$x$ が $1$ に近づくとき、$y$ は $y = -2(1+1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$ に近づきます。

したがって、最小値はありません。

(2) $y = 2x^2 + 3x + 4$ について：

まず、平方完成を行います。

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 4$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 4$

$y = 2((x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 4$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 4$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{32 - 9}{8}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

この関数のグラフは下に凸の放物線で、頂点は $(-\frac{3}{4}, \frac{23}{8})$ です。定義域は $0 < x \le 2$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0 + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8} = 2(\frac{9}{16}) + \frac{23}{8} = \frac{9}{8} + \frac{23}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x$ が $0$ に近づくとき、$y$ は $4$ に近づきます。したがって最小値はありません。

$x = 2$ のとき、$y = 2(2 + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8} = 2(\frac{11}{4})^2 + \frac{23}{8} = 2(\frac{121}{16}) + \frac{23}{8} = \frac{121}{8} + \frac{23}{8} = \frac{144}{8} = 18$

$x = 2$ のとき、$y = 18$ で、これが最大値です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3, 最小値: なし

(2) 最大値: 18, 最小値: なし