ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。 $S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき、$S_n$ を求めよ。また、$S_{30}$ を求めよ。

## 問題9 (1)

1. 問題の内容

ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。 $S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき、$S_n$ を求めよ。また、$S_{30}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

$S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9d) = 5(2a + 9d) = 100$

$S_{20} = \frac{20}{2} (2a + 19d) = 10(2a + 19d) = 400$

上記の2つの式を簡略化します。

$2a + 9d = 20$ (1)

$2a + 19d = 40$ (2)

(2) - (1) より

$10d = 20$

$d = 2$

$d = 2$ を (1) に代入すると

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、$a = 1$、$d = 2$ なので、$S_n$ は

$S_n = \frac{n}{2} (2(1) + (n-1)(2)) = \frac{n}{2} (2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (2n) = n^2$

$S_{30}$ を求めます。

$S_{30} = 30^2 = 900$

3. 最終的な答え

$S_n = n^2$

$S_{30} = 900$