画像に写っている数学の問題のうち、問題9を解きます。問題9は以下の2つの小問からなります。 (1) ある等差数列の初項から第n項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき、$S_n$ を求めよ。また、$S_{30}$ を求めよ。 (2) 第5項が20, 初項から第5項までの和が50である等差数列について、初項と公差を求めよ。

回答します。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、問題9を解きます。問題9は以下の2つの小問からなります。

(1) ある等差数列の初項から第n項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき、$S_n$ を求めよ。また、$S_{30}$ を求めよ。

(2) 第5項が20, 初項から第5項までの和が50である等差数列について、初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ なので、以下の2つの式が得られます。

$\frac{10}{2}(2a + 9d) = 100$

$\frac{20}{2}(2a + 19d) = 400$

これを整理すると、

$2a + 9d = 20$ (1)

$2a + 19d = 40$ (2)

(2) - (1) より、

$10d = 20$

$d = 2$

これを (1) に代入すると、

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、初項 $a=1$, 公差 $d=2$ であることが分かりました。

$S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{n}{2}(2(1) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(2 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$

よって、$S_n = n^2$ です。

$S_{30}$ を求めます。

$S_{30} = (30)^2 = 900$

(2)

第5項が20なので、$a + 4d = 20$ (3)

初項から第5項までの和が50なので、$\frac{5}{2}(2a + 4d) = 50$

$2a + 4d = 20$

$a + 2d = 10$ (4)

(3) - (4) より、

$2d = 10$

$d = 5$

これを (4) に代入すると、

$a + 2(5) = 10$

$a + 10 = 10$

$a = 0$

したがって、初項 $a = 0$, 公差 $d = 5$ であることが分かりました。

3. 最終的な答え

(1) $S_n = n^2$, $S_{30} = 900$

(2) 初項 $0$, 公差 $5$