$\triangle ABC$ は $\angle A = 120^\circ$ の二等辺三角形であり、外接円の半径が $3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。ここで、$a$ は辺 $BC$ の長さ、$b$ は辺 $AC$ の長さ（または辺 $AB$ の長さ）を表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ は $\angle A = 120^\circ$ の二等辺三角形であり、外接円の半径が $3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。ここで、$a$ は辺 $BC$ の長さ、$b$ は辺 $AC$ の長さ（または辺 $AB$ の長さ）を表す。

2. 解き方の手順

$\angle A = 120^\circ$ の二等辺三角形であるから、$\angle B = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$ である。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

ここで、$R$ は外接円の半径である。

したがって、

$\frac{a}{\sin 120^\circ} = 2 \times 3$

$a = 6 \sin 120^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、$b = c$ である。正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{b}{\sin 30^\circ} = 2 \times 3$

$b = 6 \sin 30^\circ = 6 \times \frac{1}{2} = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{3}$

$b = 3$