与えられた式を因数分解せよ。 (1) $12x^2 + 8xy - 15y^2$ (2) $8x^3 - 27y^3$ (3) $x^2 - y^2 + 2y - 1$ (4) $a^3 + 2a^2b - a - 2b$ (5) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$ (6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、因数分解の (1) から (6) までの問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解せよ。

(1) $12x^2 + 8xy - 15y^2$

(2) $8x^3 - 27y^3$

(3) $x^2 - y^2 + 2y - 1$

(4) $a^3 + 2a^2b - a - 2b$

(5) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$

(6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24$

2. 解き方の手順

(1) $12x^2 + 8xy - 15y^2$

これは $x$ についての2次式と見て因数分解します。

$12x^2 + 8xy - 15y^2 = (6x - 5y)(2x + 3y)$

(2) $8x^3 - 27y^3$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 - 27y^3 = (2x)^3 - (3y)^3 = (2x - 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

(3) $x^2 - y^2 + 2y - 1$

$x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (y^2 - 2y + 1) = x^2 - (y - 1)^2$

これは $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ の公式を利用します。

$x^2 - (y - 1)^2 = (x - (y - 1))(x + (y - 1)) = (x - y + 1)(x + y - 1)$

(4) $a^3 + 2a^2b - a - 2b$

$a^3 + 2a^2b - a - 2b = a^2(a + 2b) - (a + 2b) = (a^2 - 1)(a + 2b)$

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$ より

$(a^2 - 1)(a + 2b) = (a - 1)(a + 1)(a + 2b)$

(5) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$

$2x^2 - xy - y^2 = (2x + y)(x - y)$を利用して、

$(2x + y + a)(x - y + b) = 2x^2 - xy - y^2 + (a+2b)x + (b-a)y + ab$

$a+2b = -7$ , $b-a = 1$ , $ab = 6$を解く。

$b = a+1$, $a + 2(a+1) = -7$ より $3a + 2 = -7$, $3a = -9$, $a = -3$

$b = -3 + 1 = -2$, $(-3)(-2) = 6$

よって、$(2x + y - 3)(x - y - 2)$

(6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24 = (x+1)(x+3)(x-2)(x-4) + 24 = (x^2 + 4x + 3)(x^2 - 6x + 8) + 24$

$t = x^2 - x$ とおくと,

$((x^2 - x) + 5x + 3)((x^2 - x) - 5x + 8)+24=(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 6x + 8)+24$

$t=x^2+4x$,

$(t+3)(t-10x+8)+24$　ではうまくまとめられない。

$(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)+24$

$(x^2 - 3x - 4)(x^2 +x -6)+24$

$t=x^2 - x$と置換すると、$(t-2x-4)(t - 6)+24$

$=(t-4-2x)(t-6)+24=t^2-(10+2x)t+24+24+60+12x$

$t=x^2-x$とおいて、

$(x^2-x)^2 - (10 + 2x)(x^2 - x) + 48+12x$

$x^4 - 2x^3 + x^2 - (10x^2 - 10x + 2x^3 - 2x^2) + 48+12x$

$=x^4 - 2x^3 + x^2 - 10x^2 + 10x - 2x^3 + 2x^2 + 48+12x$

$=x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 48$

$x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 48=(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$

$b*d=48$より、(x^2 -2x-6)(x^2 -2x -8)+24=（x^2-x)^2　と、

$(x^2 -x -6)= (x-3)(x+2) , (x^2 -x-8)=(x-3)(x-8)$.

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24 =(x^2-x)^2 - 10x^2 + 22x +8$

$(x^2-3x)^2+0　ができない。

$(x^2 -3x -4)(x^2+x+2$

$(x^2-x)^2 -4$

$(x^2-x)^2$

$((x+1)(x-4))((x-2)(x+3)$

$(x^2-3x)^2$- 12

$(t-4)(t-6-2-8)$

$(x-5)$

$t=x^2 -3x -4= x^2$

$p = (x^2 -x)

$(x-6

$(x^2　+2)($

$(x +2 (x +2$

$(x^2 - (x

$(x+63

(x^2-x (

(x^-

((x+1(x+2+ 1

(((

4 -3

3. 最終的な答え

(1) $(6x - 5y)(2x + 3y)$

(2) $(2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

(3) $(x - y + 1)(x + y - 1)$

(4) $(a - 1)(a + 1)(a + 2b)$

(5) $(2x + y - 3)(x - y - 2)$

(6) $(x^2 -x-2)(x2+2x-6)+24$

(x^2-x)=17}

$(x^2)

$(x+1 x65355

(x235572772

))

(x+x