与えられた式を計算し、指定された値を求めます。問題は7と8の2つに分かれています。 * 7 平方根の計算 * (1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6})$ * (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ * (3) $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2}$ * 8 平方根と式の値 * $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3y + xy^3$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、指定された値を求めます。問題は7と8の2つに分かれています。

* 7 平方根の計算

* (1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6})$

* (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

* (3) $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2}$

* 8 平方根と式の値

* $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3y + xy^3$を求めます。

2. 解き方の手順

* 7 (1)

$A = \sqrt{3} + \sqrt{6}$と置くと、式は$(\sqrt{2} + A)(\sqrt{2} - A) = (\sqrt{2})^2 - A^2 = 2 - (\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$

$= 2 - (3 + 2\sqrt{18} + 6) = 2 - (9 + 6\sqrt{2}) = -7 - 6\sqrt{2}$

* 7 (2)

各項を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = \sqrt{6} + \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = \sqrt{6} - 2$

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$

したがって、$\sqrt{6} + \sqrt{3} - (\sqrt{6} - 2) - (\sqrt{3} + 1) = \sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 - \sqrt{3} - 1 = 1$

* 7 (3)

$\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ ($2 > \sqrt{3}$なので)

$\sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2} = |3 - 2\sqrt{3}| = |3 - \sqrt{12}| = \sqrt{12} - 3 = 2\sqrt{3} - 3$ ($3 < \sqrt{12}$なので)

したがって、$2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 1$

* 8

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$x+y = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{1}{5 - 3} = \frac{1}{2}$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 5 - 1 = 4$

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

3. 最終的な答え

* 7

* (1) $-7 - 6\sqrt{2}$

* (2) $1$

* (3) $\sqrt{3} - 1$

* 8

* $x+y = \sqrt{5}$

* $xy = \frac{1}{2}$

* $x^2 + y^2 = 4$

* $x^3y + xy^3 = 2$