与えられた絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $|x-11|=2$ (2) $|2x+5|<7$ (3) $|3x+2| \ge 1$ (4) $|2x-4|=x$ の解で $x \ge 2$ を満たすものと、$x < 2$ を満たすものを求め、さらに $|2x-4| \le x$ の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $|x-11|=2$

(2) $|2x+5|<7$

(3) $|3x+2| \ge 1$

(4) $|2x-4|=x$ の解で $x \ge 2$ を満たすものと、$x < 2$ を満たすものを求め、さらに $|2x-4| \le x$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|x-11|=2$ を解きます。

絶対値の定義から、$x-11 = 2$ または $x-11 = -2$ が成り立ちます。

$x-11 = 2$ のとき、$x = 13$

$x-11 = -2$ のとき、$x = 9$

したがって、$x=9, 13$

(2) $|2x+5|<7$ を解きます。

絶対値の性質から、$-7 < 2x+5 < 7$ が成り立ちます。

各辺から5を引くと、$-12 < 2x < 2$

各辺を2で割ると、$-6 < x < 1$

(3) $|3x+2| \ge 1$ を解きます。

絶対値の性質から、$3x+2 \ge 1$ または $3x+2 \le -1$ が成り立ちます。

$3x+2 \ge 1$ のとき、$3x \ge -1$ より $x \ge -\frac{1}{3}$

$3x+2 \le -1$ のとき、$3x \le -3$ より $x \le -1$

したがって、$x \le -1$ または $x \ge -\frac{1}{3}$

(4) $|2x-4|=x$ を解きます。

絶対値の定義から、$2x-4 = x$ または $2x-4 = -x$ が成り立ちます。

$2x-4 = x$ のとき、$x = 4$

$2x-4 = -x$ のとき、$3x = 4$ より $x = \frac{4}{3}$

$x=4$ は $x \ge 2$ を満たし、$x = \frac{4}{3}$ は $x < 2$ を満たします。

次に、 $|2x-4| \le x$ を解きます。

$-x \le 2x-4 \le x$ が成り立ちます。

$-x \le 2x-4$ より $4 \le 3x$ よって $x \ge \frac{4}{3}$

$2x-4 \le x$ より $x \le 4$

したがって、$\frac{4}{3} \le x \le 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 9, 13$

(2) $-6 < x < 1$

(3) $x \le -1$ または $x \ge -\frac{1}{3}$

(4) $x \ge 2$ を満たすものは $4$ 、$x < 2$ を満たすものは $\frac{4}{3}$ 、 $|2x-4| \le x$ の解は $\frac{4}{3} \le x \le 4$