数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。すべての正の整数 $n$ において、 $S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$ が成り立つとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_1, a_2$ を求めよ。 (2) $a_n$ を求めよ。 (3) $S_n$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。すべての正の整数 $n$ において、

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$

が成り立つとき、以下の問いに答えます。

(1) $a_1, a_2$ を求めよ。

(2) $a_n$ を求めよ。

(3) $S_n$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ と $a_2$ を求める。

$a_1$ は初項なので、$S_1$ と等しくなります。

$a_1 = S_1 = -1^3 + 10 \cdot 1^2 - 20 \cdot 1 = -1 + 10 - 20 = -11$

$a_2$ は第2項なので、$S_2 - S_1$ で計算できます。

$S_2 = -2^3 + 10 \cdot 2^2 - 20 \cdot 2 = -8 + 40 - 40 = -8$

$a_2 = S_2 - S_1 = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$

(2) $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で計算できます。

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$

$S_{n-1} = -(n-1)^3 + 10(n-1)^2 - 20(n-1)$

$= -(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 10(n^2 - 2n + 1) - 20(n - 1)$

$= -n^3 + 3n^2 - 3n + 1 + 10n^2 - 20n + 10 - 20n + 20$

$= -n^3 + 13n^2 - 43n + 31$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (-n^3 + 10n^2 - 20n) - (-n^3 + 13n^2 - 43n + 31)$

$= -n^3 + 10n^2 - 20n + n^3 - 13n^2 + 43n - 31$

$= -3n^2 + 23n - 31$

$n=1$ のとき、$a_1 = -3(1)^2 + 23(1) - 31 = -3 + 23 - 31 = -11$ となり、$a_1$ と一致します。

したがって、

$a_n = -3n^2 + 23n - 31$

(3) $S_n$ の最大値を求める。

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$

$S_{n+1} - S_n = a_{n+1} = -3(n+1)^2 + 23(n+1) - 31$

$= -3(n^2 + 2n + 1) + 23n + 23 - 31 = -3n^2 - 6n - 3 + 23n - 8 = -3n^2 + 17n - 11$

$S_n$ が最大となるのは、$a_{n+1} > 0$ かつ $a_{n+2} < 0$ となる $n$ です。

$a_{n+1} = -3n^2 + 17n - 11 > 0$

$3n^2 - 17n + 11 < 0$

二次方程式 $3n^2 - 17n + 11 = 0$ の解は、

$n = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 132}}{6} = \frac{17 \pm \sqrt{157}}{6}$

$\frac{17 - \sqrt{157}}{6} \approx \frac{17 - 12.53}{6} \approx 0.745$

$\frac{17 + \sqrt{157}}{6} \approx \frac{17 + 12.53}{6} \approx 4.92$

したがって、$a_{n+1} > 0$ となるのは $n = 1, 2, 3, 4$ のとき。

$a_{n+2} = -3(n+1)^2 + 17(n+1) - 11 < 0$

$3(n+1)^2 - 17(n+1) + 11 > 0$

$3(n^2 + 2n + 1) - 17n - 17 + 11 > 0$

$3n^2 + 6n + 3 - 17n - 6 > 0$

$3n^2 - 11n - 3 > 0$

$n = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 36}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{157}}{6}$

$a_{5} = -3 \cdot 4^2 + 17 \cdot 4 - 11 = 9 > 0$

$a_{6} = -3 \cdot 5^2 + 17 \cdot 5 - 11 = -75 + 85 - 11 = -1$

$a_5=9>0$ なので、$S_5 > S_4$

$a_6=-1<0$ なので、$S_5 > S_6$

$S_n$ の最大値は $S_5$ です。

$S_5 = -5^3 + 10 \cdot 5^2 - 20 \cdot 5 = -125 + 250 - 100 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = -11$, $a_2 = 3$

(2) $a_n = -3n^2 + 23n - 31$

(3) $S_n$ の最大値は $25$