関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が与えられ、曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線 $l$ を考える。ただし、$t \ge 0$ とする。 (1) 接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求める。 (3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち、$x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が与えられ、曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線 $l$ を考える。ただし、$t \ge 0$ とする。

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求める。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち、$x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

$f(x) = x^3 - 3x$ より、$f'(x) = 3x^2 - 3$ である。

点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 3$ である。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求める。

$x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

$x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2x + 2t^3 = 0$

$(x - t)^2 (x + 2t) = 0$

$x = t$ (重解) または $x = -2t$

接点以外の共有点の $x$ 座標は $x = -2t$ である。

このとき、$y = f(-2t) = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t$

したがって、接点以外の共有点の座標は $(-2t, -8t^3 + 6t)$ である。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち、$x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ となるような $t$ の値を求める。

$x \ge 0$ の範囲で、$C$ と $l$ の交点は、$x=t$ である。また、$x=0$で$f(0)=0$かつ$l$の$y$切片は$-2t^3$なので、$t \ge 0$のとき、$x \ge 0$の範囲において、$f(x)$が上にあり、$l$が下にある。

$S = \int_{0}^{t} (x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3) dx$

$S = \int_{0}^{t} (x^3 - 3t^2x + 2t^3) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}t^2x^2 + 2t^3x]_{0}^{t}$

$S = \frac{1}{4}t^4 - \frac{3}{2}t^4 + 2t^4$

$S = (\frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4})t^4 = \frac{3}{4}t^4$

$S = 12$ より、$\frac{3}{4}t^4 = 12$

$t^4 = 16$

$t = 2$ ($t \ge 0$ より)

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) $t = 2$