与えられた10個の問題を解き、空欄（ア）から（サ）を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の問題を解き、空欄（ア）から（サ）を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x-2)(x-3)(x-6)$ を展開します。

$(x+1)(x-6) = x^2 -5x - 6$

$(x-2)(x-3) = x^2 -5x + 6$

$(x^2 -5x - 6)(x^2 -5x + 6) = (x^2 -5x)^2 - 36 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 - 36$

(2) $x^2 + xy - 4x - 5y - 5$ を因数分解します。

$x^2 + xy - 4x - 5y - 5 = x(x+y-4) -5(y+1)$

与式を $x$ について整理すると、

$x^2 + (y-4)x - (5y+5) = x^2 + (y-4)x -5(y+1)$.

$x^2+xy-4x-5y-5 = (x-5)(x+y+1)$

(3) $(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求めます。二項定理より、

$(3a-b)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3a)^{4-k} (-b)^k$

$ab^3$ の項は $k=3$ のときなので、

$\binom{4}{3} (3a)^{4-3} (-b)^3 = 4(3a)(-b^3) = -12ab^3$

よって、係数は $-12$

(4) $f(a) = (a-1)(\frac{4}{a}-1) = 4 - a - \frac{4}{a} + 1 = 5 - (a + \frac{4}{a})$ を最大にする $a$ を求めます。

相加相乗平均の関係より $a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$

等号成立は $a = \frac{4}{a}$、つまり $a^2 = 4$ のとき。$a>0$ より $a = 2$.

よって、$f(a) = 5 - (a+\frac{4}{a}) \le 5 - 4 = 1$.

最大値は $a=2$ のとき。

(5) $x^3+ax^2+bx-13=0$ の解の一つが $2-3i$ のとき、$2+3i$も解である。実数解を$r$とすると、解と係数の関係より

$(2-3i) + (2+3i) + r = -a$

$(2-3i)(2+3i) + (2-3i)r + (2+3i)r = b$

$(2-3i)(2+3i)r = 13$

$4+9=13$. $13r = 13$ より、$r=1$

$4+9 + 2r-3ir + 2r + 3ir = b$ より、$13 + 4r = b$, $13+4(1)=b$, $b=17$

$-a = 2-3i + 2+3i + 1 = 5$ より $a = -5$

(6) 2次関数 $y = px^2 + qx + r$ が (0, 3), (1, 2), (3, 6) を通るとき、

(0,3) より $r=3$.

(1,2) より $p+q+3=2$, $p+q = -1$

(3,6) より $9p+3q+3=6$, $9p+3q=3$, $3p+q=1$

$(3p+q)-(p+q) = 1 - (-1)$ より $2p = 2$, $p=1$.

$1+q=-1$ より $q = -2$.

よって $y=x^2-2x+3$

(7) $\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{7} = k$ とすると、$\sin A = 5k, \sin B = 4k, \sin C = 7k$.

正弦定理より $a:b:c = \sin A: \sin B: \sin C = 5:4:7$.

$a=5l, b=4l, c=7l$ とおける。

余弦定理より $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(5l)^2 + (4l)^2 - (7l)^2}{2(5l)(4l)} = \frac{25+16-49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$

(8) $A = \{n | n は 2 の倍数 \}, B = \{n | n は 3 の倍数 \}, C = \{n | n は 5 の倍数 \}$

$|A| = 50, |B| = 33, |C| = 20$

$|A \cap B| = \{ n | n は 6 の倍数 \} = 16$

$|B \cap C| = \{ n | n は 15 の倍数 \} = 6$

$|A \cap C| = \{ n | n は 10 の倍数 \} = 10$

$|A \cap B \cap C| = \{ n | n は 30 の倍数 \} = 3$

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| = 50+33+20-16-6-10+3 = 74$

(9) サイコロを60回振るとき、1の目が出る回数Xの分散は？

1の目が出る確率は $p = \frac{1}{6}$。試行回数 $n=60$.

分散は $V(X) = np(1-p) = 60 \cdot \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{6}) = 10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

(10) 赤玉4個, 白玉2個の合計6個の玉が入った袋がある。この袋から玉を同時に3個取り出すとき、異なる2色の玉を取り出す確率は？

全事象は $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

異なる2色の玉を取り出すのは、赤2白1 または 赤1白2 の場合。

赤2白1: $\binom{4}{2} \binom{2}{1} = \frac{4 \times 3}{2} \times 2 = 6 \times 2 = 12$

赤1白2: $\binom{4}{1} \binom{2}{2} = 4 \times 1 = 4$

よって確率は $\frac{12+4}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(ア) $x^4 - 10x^3 + 25x^2 - 36$

(イ) $(x-5)(x+y+1)$

(ウ) $-12$

(エ) $2$

(オ) $-5$

(カ) $17$

(キ) $y = x^2 - 2x + 3$

(ク) $-\frac{1}{5}$

(ケ) $74$

(コ) $\frac{25}{3}$

(サ) $\frac{4}{5}$