2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフについて、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフは上に凸か下に凸か、軸の方程式は何か、頂点の座標は何か。 (2) この放物線を $x$ 軸方向に -3, $y$ 軸方向に 5 だけ平行移動して得られる放物線 C の方程式は何か。 (3) さらに、放物線 C を原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式は何か。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフについて、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフは上に凸か下に凸か、軸の方程式は何か、頂点の座標は何か。

(2) この放物線を $x$ 軸方向に -3, $y$ 軸方向に 5 だけ平行移動して得られる放物線 C の方程式は何か。

(3) さらに、放物線 C を原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式は何か。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 2$

したがって、グラフは上に凸、軸の方程式は $x = -1$, 頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(2) 放物線 $y = -x^2 - 2x + 1$ を $x$ 軸方向に -3, $y$ 軸方向に 5 だけ平行移動すると、方程式は

$y - 5 = -(x + 3)^2 - 2(x + 3) + 1$

$y = -(x^2 + 6x + 9) - 2x - 6 + 1 + 5$

$y = -x^2 - 6x - 9 - 2x - 6 + 6$

$y = -x^2 - 8x - 9$

となります。

(3) 放物線 $y = -x^2 - 8x - 9$ を原点に関して対称移動すると、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = -(-x)^2 - 8(-x) - 9$

$-y = -x^2 + 8x - 9$

$y = x^2 - 8x + 9$

となります。

3. 最終的な答え

(1) グラフは上に凸、軸の方程式は $x = -1$, 頂点の座標は $(-1, 2)$

(2) $y = -x^2 - 8x - 9$

(3) $y = x^2 - 8x + 9$